Curvas características de turbomáquinas térmicas

¿Porqué tienen esa forma (tan... ¿rara?) las curvas características de las turbomáquinas térmicas?
La siguiente figura muestra una representación típica de curvas características de un turbocompresor, obtenida del programa Gasturb11. Estas curvas, y los números adimensionales que se emplean al usarlas, nos las encontraremos al hablar de la regulación de la potencia en turbinas de gas, lo que se hace aquí y aquí.

Las curvas de nivel de trazo discontínuo de color rojo muestran líneas de isorendimiento del compresor. Las curvas de trazo contínuo de color negro muestran como varían el caudal másico (en abscisas) y la relación de compresión (en ordenadas) a régimen de giro adimensional N=cte y son las que nos proponemos entender porqué tienen esa forma y no otra. Para ello hay que estudiar como es el flujo a su paso por los álabes de la turbomáquina. De entre los muchos tipos diferentes de turbomáquinas térmicas -axiales o radiales, turbocompresores o turbinas- vamos a ver el caso de los turbocompresores axiales y... entendido un caso: ¡entendidos todos!
La fotografía que abre el post muestra una serie de coronas de rotor de un turbocompresor axial. Cuando se monte la carcasa externa sobre la que se fijan los álabes de estator, las coronas de estator se intercalarán con las de rotor, formando una sucesión de "escalonamientos" o "etapas" de compresor como el que se representa a continuación, que muestra una sección a la altura media de los álabes de uno de los escalonamientos del turbocompresor.

El flujo se encuentra primero los álabes del rotor "R" y luego los del estator "E". Las velocidades C del flujo son velocidades absolutas (vistas por un observador ligado a un sistema de referencia inercial) mientras que las W son velocidades relativas (las que vería un observador no inercial, cuyo sistema de referencia giraría con el rotor). Sus proyecciones sobre la dirección axial se llamarán c_a y w_a mientras que sobre la dirección de la velocidad periférica U serán c_u y w_u.
A la entrada del rotor de la figura el flujo tiene una cierta prerrotación, ya que la velocidad aboluta C1 está inclinada con respecto a la dirección axial (que seguiría una línea vertical en la figura); por eso, o bien se trata de un escalonamiento intermedio -y la prerrotación se debe a la desviación que impone el escalonamiento anterior-, o bien esa desviación se ha conseguido con una rueda de álabes guía -que se suele disponer antes de la primera corona de rotor-.
En los triángulos de velocidades representados en la figura se pueden definir dos números adimensionales llamados coeficiente de flujo y coeficiente de carga: 
Coeficiente de flujo : Velocidad axial adimensionalizada con la velocidad periférica u

La componente axial está directamente relacionada con el gasto volumétrico y el másico. Este coeficiente es la relación entre la altura del triángulo y su base inferior . Cuando no se conserva la velocidad axial habrá un coeficiente de flujo a la entrada y otro a la salida.

Coeficiente de carga: Trabajo específico del escalonamiento adimensionalizado con el cuadrado de la velocidad periférica:

Δc_u es la diferencia de entre las componentes tangenciales de la velocidad absoluta. Para una velocidad perifñerica dada, el coeficiente de carga está relacionado con el trabajo específico y, por tanto, con la relación de compresión.
Si se superponen los triángulos de velocidades de entrada y salida por su base común U, y se adimensionaliza el trapecio resultante dividiendo todas las velocidades por U, el coeficiente de carga es la base superior del trapecio, mientras que el coeficiente de flujo es su altura.

En la figura se han representado dos trapecios (azul y rojo) correspondientes a dos situaciones diferentes de trabajo del escalonamiento a régimen de giro (velocidad periférica U) constante. En el caso rojo el coeficiente de carga es mayor que en el caso azul Ψ^*>Ψ; dado que la velocidad periférica es constante en ambos casos, eso querrá decir que el trabajo específico es mayor en el caso rojo. Si, por poner un ejemplo, se tratase del compresor de una turbina de gas, se tendría esa situación cuando la potencia que la turbina entrega al compresor fuese elevada. Si, por medio del sistema de regulación de la potencia de la turbina de gas, disminuyese la potencia de la turbina, se pasaría al caso azul, con un coeficiente de carga (trabajo específico) menor y con mayor coeficiente de flujo (caudal másico) Φ>Φ^*.
Como el trabajo específico está relacionado con la relación de compresión, lo anterior se puede interpretar en el sentido de que cuando el compresor aumenta su relación de compresión disminuye el caudal que trasiega, mientras que cuando aumenta el caudal ese aumento es a expensas de una menor relación de compresión.
La frase anterior describe bien la forma que tiene una curva característica de régimen constante, o sea que ya se ha alcanzado el objetivo fundamental, que era comprender el porqué de esa forma. Ya solo queda ponerle una matemática elemental al asunto y estaremos en posición de dibujar la curva que corresponda a un trapecio dado.
Teniendo en cuenta que c_u2 = u - w_u2 y que c_u1 = c_a.tga₁ es sencillo obtener la ecuación que relaciona el coeficiente de carga con el coeficiente de flujo y los ángulos α₁ y β₂:

 El ángulo β₂ es el de la velocidad relativa de salida del rotor y el ángulo α₁ el de salida del estator si el escalonamiento es de repetición. Como son ángulos de salida, si el guiado de la corriente por parte de los álabes es como se espera, esos ángulos se mantendrán constantes aunque cambien el coeficiente de flujo y/o el de carga. O sea que la relación teórica entre Ψ y Φ es... ¡una recta!
En la práctica, la recta que se acaba de hallar de forma teórica se deforma por efecto de dos fenómenos que alejan el comportamiento real del teórico: el desprendimiento -que sucede cuando, al crecer mucho la relación de compresión, el engrosamiento de la capa límite hace entrar en pérdida al perfil- y el bloqueo, que se deriva fundamentalmente de una pérdida de carga creciente con el caudal másico, por estrangulamiento del flujo por los perfiles.

Como el coeficiente de carga está relacionado con la relación de compresión, y el de flujo con el caudal másico, ya estamos en posición de comprender el porqué de la forma de las curvas características en turbocompresores. Para cada punto de la curva característica, además, existirá un rendimiento interno asociada a la geometría del trapecio y a las pérdidas que se derivan del empleo de esa geometría, por lo que también a cada punto se le asociará un rendimiento interno, lo que permitirá dibujar las curvas de nivel de isorendimiento que se representaron en la primera figura.