En torno a los rendimientos politrópico e isentrópico

Una de las primeras entradas de este blog, allá por febrero de 2012, se dedicó al concepto de rendimiento politrópico, que es particularmente útil en turbomáquinas térmicas. Esta entrada le va a dar una vuelta de tuerca al concepto, con el fin de comprender bien qué efectos tienen las pérdidas por fricción fluida en las turbomáquinas. También se va introducir una definición relativamente poco conocida del rendimiento politrópico puesto en función de las entropías.

Lo que sigue se va a particularizar para una politrópica de compresión como la representada entre los puntos 1 y 2 de la figura siguiente, pero todos los conceptos son fácilmente trasladables al caso de una politrópica de expansión.

1-2: Compresión adiabática con fricción

 

             

Partiendo de la ecuación de Gibbs:

                                dh=Tds+vdp  (1)

 

En la ecuación (1), vdp es el trabajo útil para aumentar la presión del fluido, mientras que Tds es energía disipada, que se traduce en aumento de entropía. Tds es una medida de la energía degradada por fricción en un flujo adiabático.

Nótese que el eje de ordenadas de la figura es doble, lo que implica que la politrópica se puede representar tanto en un T-s como en un h-s. Cuando se integra Tds en el diagrama T-s se obtiene el área rayada en verde en la figura.

 

En un proceso de compresión con un salto de presiones no infinitesimal, la energía total degradada es mayor que la integral de la que se pierde por fricción:

 

Como 2s-2 es una isobara (p=cte):

 

Integrando la ecuación (1) sobre la isobara 2-2s:

Es fácil comprobar que si la politrópica no fuese de compresión sino de expansión sucedería lo contrario y la energía total degrada sería menor que la integral de la que se pierde por fricción. Lo anterior permite entender por qué, en turbomáquinas con varios escalonamientos, los turbocompresores tienen peor rendimiento que el de sus escalonamientos, mientras que las turbinas lo tienen mejor. La diferencia entre los rendimientos isentrópico y politrópico se desarrolla a continuación, particularizada de nuevo para el caso de un proceso de compresión.

 

El rendimiento isentrópico del proceso 1-2 se define como:

 

El rendimiento politrópico se define como el rendimiento isentrópico de un proceso infinitesimal:

 En las ecuaciones (2) y (3) se puede ver el efecto detrimental de la irreversibilidad por fricción en ambos rendimientos. Sobre el rendimiento politrópico es:

 

 mientras que sobre el rendimiento isentrópico es:

 

Se comprende, entonces, por qué en un proceso de compresión (en uno de expansión sucedería lo contrario) el rendimiento politrópico es mejor que el isentrópico. También se puede demostrar el aserto anterior del siguiente modo:

 

 

 

¿Como calcular numéricamente el rendimiento politrópico?

 

De la ecuación (1) se deduce que:

 

 

 Integrando la ecuación (4), primero sobre la politrópica 1-2 y, luego, sobre la isobara 1-2p:

 Y, como los puntos 2 y 2p tienen la misma temperatura:

 

 Comparando las ecuaciones (5) y (6) se deduce que:

La ecuación anterior suministra dos maneras de calcular el rendimiento politrópico. La primera, que es muy interesante ya que no necesita considerar constante el calor específico al integrar entre 1 y 2, mediante una relación de diferencias de entropías, que se apoya sobre la politrópica 1-2 y sobre la isobara 1-2p; la segunda es más conocida y es la que se emplea usualmente, ya que se deriva de: