Subdivisión en escalonamientos de una turbina

Hemos seguido avanzando con la simulación de turbomáquinas térmicas y ya tenemos los primeros resultados de un programa que calcula las curvas características de una turbina multietapa. El programa permite, primero, diseñar la turbina definiendo cada etapa por medio de su trapecio de velocidades, con una hipótesis de flujo bidimensional; luego, determina el rendimiento interno (tanto total a total como total a estática) para distintas relaciones de expansión, tomando como parámetro el régimen de giro. Debo decir que los resultados no están validados, a falta de encontrar un modelo fiable con el que poderlos comparar, así que, de momento, solo tenemos la intuición de que "no tienen mala pinta".

Una vez desarrollada la herramienta, lo que ahora procede es jugar con ella. Y lo primero ha sido estudiar la influencia de la subdivisión en escalonamientos de una turbina. En primera aproximación, la subdivisión en escalonamientos obedece a la necesidad de fraccionar el salto (de entalpías o de presiones) en varias etapas, ante la imposibilidad de absorber grandes saltos con un único escalonamiento.

Es muy conocido en turbomáquinas un fenómeno que se cuantifica a través del concepto de factor de recuperación -en turbinas- y de contrarrecuperación -en turbocompresores- que postula que -en las primeras- la máquina tiene mejor rendimiento que los escalonamientos de los que está compuesta y -en los segundos- lo contrario: la máquina tiene peor rendimiento que sus escalonamientos. En las turbinas, obviamente, es un efecto favorable, que se debe a que una parte de las pérdidas por fricción que se producen en los primeros escalonamientos se recupera, de donde viene el nombre de factor de recuperación que cuantifica ese efecto. En los turbocompresores pasa lo contrario y es, por ello, un efecto desfavorable medido por el factor de contrarrecuperación. Como en esta entrada nos vamos a ocupar solamente de turbinas, pongo solamente la ecuación del factor de recuperación Z, aplicada a una turbina en la que se ha supuesto que todos los escalonamientos tienen el mismo rendimiento:

La pregunta es: ¿cuanto vale Z? Se puede obtener una aproximación cualitativa a través de la relación que existe entre el rendimiento isentrópico y el rendimiento politrópico. Quien quiera profundizar en ese concepto puede remitirse a una de las primeras entradas de este friquiblog, en la que está explicado el concepto de rendimiento politrópico y se explica qué relación tiene con el isentrópico, relación cuya ecuación reproduzco a continuación:

El rendimiento politrópico de una determinada politrópica de expansión es el rendimiento isentrópico que tendría un escalonamiento infinitesimalmente pequeño, que resultaría de dividir el salto total de la politrópica en infinitos saltos de tamaño diferencial. La ecuación anterior se representa gráficamente a continuación:

Lo que se ve en la figura es -primero- que el rendimiento politrópico es menor que el rendimiento isentrópico para cualquier relación de expansión mayor que 1 y -segundo- que a rendimiento politrópico constante, el rendimiento isentrópico crece cuando aumenta el salto de presiones. El primer efecto es el que nos interesa aquí, porque equivale a postular que, cuando se juntan uno a continuación de otro infinitos escalonamientos infinitesimales, el rendimiento del conjunto es más alto que el de los escalonamientos. No cuesta mucho aceptar que se tiene el mismo efecto si los escalonamientos no son infinitesimales, sino que tienen un salto de presiones finito. 

Partiendo de esa base, vamos a profundizar en el fenómeno analizando un caso particular de una turbina subdividida, ahora sí, en escalonamientos finitos. He simulado una turbina axial con las mismas condiciones de entrada y salida en presión y la misma temperatura de parada a la entrada, los mismos caudal másico y régimen de giro en el punto nominal pero con 3, 5, 7 y 9 escalonamientos. El gráfico tal vez resulte algo complicado de entender, porque mezcla dos cosas distintas: primero, el rendimiento de cada una de las etapas de las que constan las turbinas de 3, 5, 7 y 9 escalones; segundo el rendimiento total a total de la máquina, representado por medio de puntos individuales más gruesos para que destaquen:

El planteamiento es algo singular, porque lo que se impone en cada caso es que todos los escalones tengan los mismos coeficientes de flujo, de carga y grado de reacción (Fi, psi y R), concretamente 1, 2 y 0,5. Eso da un trabajo específico prácticamente constante en cada escalonamiento individual, pero el rendimiento de cada escalón mejora a medida que se va desde la entrada hacia la salida.

 Lo que se ve es que el rendimiento de la máquina siempre es mayor que el de sus escalones. En el caso de la turbina con 3 escalones el rendimiento de la tercera etapa es mejor que el de la máquina, pero la máquina tiene mejor rendimiento que el rendimiento medio de sus escalones. En todos los otros casos el rendimiento de la máquina es mejor que el del mejor de sus escalones, y la diferencia aumenta con el número de etapas. El mayor rendimiento individual se tiene siempre en el último escalón; ese mayor rendimiento va disminuyendo cuando aumenta el número de escalones, posiblemente porque al ser más pequeños aumenten proporcionalmente las pérdidas intersticiales (eso habría que comprobarlo, que es un triple que me he tirado).

Igual de interesante, pero más complicado de analizar, es lo que le pasa a las diferentes turbinas a carga parcial y diferentes regímenes de giro. Pongo a continuación dos gráficos de curvas características, el primero con 3etapas:

 

y el segundo con 7 etapas:

Con 3 etapas, el programa da errores en los régimenes de giro más bajos cuando se supera una cierta relación de expansión, probablemente porque se alcanza antes el bloqueo sónico. En general, el comportamiento es mejor con 7 que con 3, porque crece el rango utilizable de relaciones de expansión con distintos regímenes de giro y porque el rendimiento mejora.

Altura de los álabes de las dos primeras coronas de una turbina de vapor

A Manuel Muñoz Torralbo todos lo conocíamos en la Cátedra de Motores de la ETSII de la Universidad Politécnica de Madrid como "El jefe". Esta entrada del blog va dedicada a su memoria, en agradecimiento por haberme transmitido solo una pequeña parte de las muchas cosas que él sabía sobre el apasionante mundo de las turbomáquinas.

Una de las muchas cosas que me enseñó el jefe es que la altura del álabe en una turbina de vapor suele tener un límite más crítico en el segundo escalonamiento que en el primero. Que en los primeros escalonamientos la altura del álabe es necesariamente pequeña tiene una explicación sencilla, ya que en esas primeras etapas la elevada presión del vapor conlleva una elevada densidad y, por ello, un pequeño volumen específico. En la siguiente ecuación se puede ver que altura H y densidad rho son inversamente proporcionales (m es el caudal másico, Dm el diámetro medio y ca la velocidad axial):

La altura del álabe es un parámetro importante en todos los escalonamientos -no solo en los primeros-, ya que de ella depende, en buena medida, su coste (y, por tanto, el coste total de la turbina). El hecho de que la altura sea pequeña en los primeros escalonamientos presenta el problema de que en ellos las pérdidas terminales (las que tienen lugar por la fricción en el anillo de paso) son altas en proporción al trabajo mecánico realizado, lo que hace bajar notablemente el rendimiento de esas coronas en comparación con el de los escalonamientos centrales (en los que la expansión ya ha hecho bajar la densidad lo suficiente para tener valores aceptables en la altura).

Que la altura sea más crítica en el segundo escalonamiento que en el primero no es tan obvio y es lo que voy a procurar explicar. Para ello me voy a apoyar en unas cuantas fotos de la turbina de vapor que acabamos de recibir en el laboratorio. ¡Lo que habría disfrutado el jefe discutiendo con nosotros sus detalles!

Aquí tenéis el rotor en una vista cenital:

En la siguiente foto he sacado dos recortes ampliados de como son las secciones de paso de las dos primeras coronas de rotor.

En el primer escalonamiento hay una primera expansión, que tiene lugar en el estator (ya que el rotor es de presión constante). Teniendo eso en cuenta, uno esperaría que la densidad hubiese bajado lo suficiente para que la segunda corona tuviese una altura sensiblemente mayor que la primera. Pero, como se ve en los recortes, eso no es así y el incremento de altura -si lo hay- no es nada grande. ¿Cómo es eso posible? La explicación reside en que la admisión del vapor a la primera corona ocupa un sector angular menor que los 360° del perímetro. Eso permite tener en esa primera corona la misma sección de paso efectiva con una altura de los álabes algo mayor que si hubiese admisión perimetral. En la siguiente foto se aprecia como asoma en la parte izquierda del plano de unión entre las dos semicarcasas una de las toberas del estator mientras que en la parte derecha no hay estator porque en esa zona no hay admisión.

En la segunda corona, que ya es de admisión total, la altura del álabe ya tiene que ser la que marca la ecuación de arriba, razón por la cual no se aprecian grandes diferencias con la de la primera corona.

Cálculo de las curvas características de una turbina de fluido compresible

Se pretende determinar el campo de curvas características de una turbina ensayada en un banco de pruebas del tipo del representado en el siguiente esquema:

Se trata de calcular el comportamiento de una turbina (caudal másico, salto de presiones y rendimiento) cuando se recorre su línea de actuación al ir cerrando -partiendo de una posición en la que está casi completamente abierta- la válvula situada a la salida de la turbina.

PREMISAS DE PARTIDA

Se va a suponer para mayor sencillez y claridad, una turbina de un único escalonamiento, si bien el procedimiento es fácilmente extensible a turbinas multietapa.

El punto de diseño de la turbina es aquél  en el que la válvula está casi completamente abierta, anteriormente mencionado. En ese punto se conocen los triángulos de velocidades de la turbina y su rendimiento isentrópico. La presión y la temperatura de parada a la entrada de la turbina son conocidas y se mantendrán constantes a lo largo del ensayo. La presión después de la válvula es la atmosférica. La presión en el punto 2 depende del grado de apertura de la válvula y aumenta a medida que ésta se cierra. El régimen de giro se ajusta a un valor de consigna actuando sobre el freno.

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO

Partiendo del punto de diseño, el caudal másico disminuirá al cerrar la válvula y viceversa. La disminución del caudal es equivalente a una disminución de la velocidad axial del flujo. Se puede suponer que los ángulos de salida de la velocidad absoluta del estator y de la velocidad relativa del rotor no se modifican, ya que la correlación para la desviación δ solo depende de parámetros geométricos de la cascada como la curvatura de los perfiles θ y la solidez σ (m y n son parámetros):


En una aproximación más rigurosa se haría depender la desviación del número de Mach pero el error que se comete no es muy grande. En esas circunstancias, una disminución dada de la velocidad axial deja determinado el nuevo tríángulo de velocidades, como ilustran los siguientes esquemas, particularizados para dos casos en los que el escalonamiento tiene en diseño dos grados de reacción diferentes, uno cercano a 0,5 (arriba) y otro igual a 0 (abajo).

Se puede apreciar como el grado de reacción se mantiene sensiblemente constante, en el caso del grado de reacción 0,5, mientras que aumenta al disminuir la velocidad axial, en el caso del grado de reacción 0. En todo caso, la incidencia del flujo relativo en el rotor cambia al pasar del caso en diseño al caso fuera de diseño, lo que incidirá de manera negativa en las pérdidas del escalonamiento.

En lo sucesivo, el análisis se centrará en el caso particular del escalonamiento de grado de reacción cercano a 0,5, si bien los razonamientos efectuados se pueden aplicar sin problemas a otros grados de reacción.

Las dos líneas de expansión correspondientes a la turbina en diseño y estrangulada se representan en la siguiente figura:

El cálculo de las presiones y temperaturas de cada punto se hace del siguiente modo:

La pérdida en el estator se calcula por medio de la correlación de Ainley y Mathieson y se resta de la entalpía del punto 1' para calcular la del 1's:

Con esos datos ya se pueden determinar la presión y la entropía del punto 1’ y, desde ahí, seguir por la politrópica hasta el punto 2':

La pérdida en el rotor se calcula también por medio de la correlación de Ainley y  Mathieson y se resta a la entalpía del punto 2':

Lo que permite calcular la presión a la salida del rotor en el punto 2'.

Una vez conocido el punto 2’, ya se conoce todo lo necesario para caracterizar el nuevo punto de funcionamiento de la turbina: caudal másico, relación de expansión y rendimiento. Reiterando el procedimiento para cada régimen de giro es posible, por tanto, dibujar el mapa completo de curvas características de la turbina.

En cada punto de cálculo hay que vigilar que no se produzca bloqueo, calculando el número de Mach de la velocidad de salida del estator c₁ y de la velocidad relativa de salida del rotor w₂. En el caso de escalonamientos con expansión en el rotor hay que tener en cuenta que la temperatura de salida del rotor será menor que a la salida del estator, lo que hará aumentar el número de Mach de la velocidad relativa.

RESULTADOS

La metodología explicada anteriormente se ha implementado en un programa de ordenador. En la fecha de redacción de esta entrada todavía dispongo de muy pocos resultados y ni siquiera estoy seguro de que estén bien. Así que pongo solo un par de gráficos ilustrativos y dejo para una futura edición su interpretación y eventual actualización.

El rendimiento total a total alcanza su máximo en las inmediaciones del punto de diseño de la turbina.

Edito para añadir un par de curvas características más, recién obtenidas (mayo de 2018). Siguen correspondiendo a una turbina monoescalonamiento pero con dos diseños distintos, uno de acción (como correspondería a una turbina real de una única etapa) y otro de grado de reacción 0,5, que sirve como precursor de futuros cálculos multietepa y que permitirá sacar alguna conclusión interesante.

Esta es la curva correspondiente a la turbina de acción:

Y esta es la de la turbina de reacción:

Lo que se ve en ambas curvas es que -a relación de expansión constante- el caudal másico que pasa por la turbina aumenta cuando el régimen de giro disminuye. Esto es lo esperado y se debe a que cuando baja el régimen aumenta el salto en el estator, ya que las pérdidas progresivamente mayores en el rotor hacen que haya menos expansión en el rotor, por lo que al estator se le va aplicando una fracción progresivamente creciente del salto total (que es invariable). Esto permite también entender algo que no es tan conocido: no es igual que la turbina bloquee en el estator o en el rotor. En el primer caso el caudal de bloqueo es independiente del régimen de giro, mientras que en el segundo caso no. La explicación de por qué bloquea en el rotor la turbina de reacción se debe a que en esta última, al haber también expansión en el rotor y no solo en el estator, la temperatura del flujo alcanzará su menor valor a la salida del rotor y ahí, por consiguiente, será más baja la velocidad del sonido. En un escalonamiento de grado de reacción 0,5 en el que la velocidad relativa de salida del rotor es igual a la absoluta de salida del estator, se alcanzará antes el bloqueo sónico cuando la velocidad de sonido sea más baja. En cambio, en una turbina de acción la velocidad de salida del estator es mayor que la relativa de salida del rotor y la temperatura y la consiguiente bajada de la velocidad del sonido a la altura del rotor no compensa lo suficiente ese efecto.

Ángulo de calado de un álabe de turbomáquina

En el diseño de escalonamientos de turbinas o turbocompresores es posible que sea necesario calcular el ángulo de calado del perfil. Por ejemplo, en el caso de una turbina, para determinar la solidez óptima usando el criterio de Zweifel hace falta conocer la cuerda axial b, que depende del ángulo de calado, como ilustra la siguiente figura, que corresponde a un escalonamiento de acción de una turbina.



Si la línea media de los perfiles es un arco de círculo, entonces el ángulo de calado es igual al ángulo medio de los ángulos que forman con la vertical las tangentes a la línea media del perfil en los bordes de ataque y de salida. Para demostrarlo se usa la construcción geométrica de la siguiente figura:



Las tangentes a un círculo determinado en dos puntos cualesquiera son perpendiculares a los radios de los ángulos α1 y α2 y se cortan entre sí en un punto por el que pasa la prolongación del radio del ángulo de calado de la cuerda γ.

Mi colega y -a pesar de ello- amigo Rubén me dijo tras hablar con él de este tema que el veía más sencilla una construcción en la que los dos radios extremos son simétricos con respecto al eje vertical y, por tanto, la cuerda es horizontal. En esas circunstancias la simetría ayuda a ver mejor la conclusión que se quiere demostrar

Artículo de Reynolds

Esto tiene poco que ver con la temática principal de esta rareza de blog, pero como he publicado aquí enlaces a artículos de Clausius y de Lieblein y el otro día curioseando por ahí topé con el artículo en el que Reynolds describía sus experimentos con flujos de agua coloreada para comprender la turbulencia, aquí os lo dejo. No os perdáis los dibujos que salen al final del artículo.

An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whetherthe Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance inParallel Channels

Memorandum de Lieblein

Diffusion factor for estimating losses and limiting blade loadings in axial-flow-compressor blade elements, Sequence: 1 | UNT Digital Library

Ahí está el enlace al paper de Lieblein sobre la difusión y el cálculo de pérdidas en compresores. Lo hizo para la entidad antecesora de la NASA, que por aquél entonces se llamaba NACA (National Advisory Committee for Aeronautics). Es curioso ver con que poco arte se ha tachado la palabra "confidencial" al desclasificar el documento...

Regulación de la potencia en turbinas de gas de eje doble a régimen constante

Antes de leer este post, es conveniente haberse pasado por el de regulación en turbinas de gas de eje único.

La regulación de la carga en las turbinas de gas de eje doble con generador de gas y turbina de potencia que gira a régimen constante -por arrastrar un alternador- está basada en la variación del caudal de fluido que el generador de gas entrega a la turbina de potencia. El eje del generador de gas (el exterior en la figura, sacada del programa Gasturb11) modifica su régimen de giro a lo largo de una línea de actuación que depende de la estrategia de regulación empleada, que puede ser con VIGVs (y temperatura de entrada a la turbina del generador de gas constante) o sin VIGVs (y temperatura de entrada a la turbina del generador de gas variable).

Regulación por variación de la temperatura de entrada a la turbina

En este caso, la línea de actuación del generador de gas la impone la igualdad de potencias en el eje libre entre la turbina y el compresor al ir aumentando la potencia de la turbina a base de aumentar el caudal de combustible, lo que tiene por efecto acelerar el eje de manera muy apreciable. Lo deseable es que, si se representa superpuesta sobre el mapa del compresor, la línea de actuación atraviese las curvas de nivel de isorrendimientos no muy lejos de la línea de mínima pendiente (donde las curvas de nivel están más separadas y, por tanto, se modifica menos el rendimiento con la potencia).

 En el mapa de la turbina del generador de gas se ve menos clara la aceleración del eje libre...

 ... porque el efecto queda enmascarado por el aumento en la temperatura de entrada a la turbina, que crece casi linealmente, igual que la relación de compresión del compresor:

En la turbina de potencia, que es la que arrastra al alternador, el régimen de giro es lógicamente el de sincronismo:

y la línea de actuación de la turbina de potencia se aparta poco de N=cte porque la variación de la temperatura de entrada a la turbina de potencia no es tan grande como la del generador de gas:

Al aumentar el régimen del generador de gas aumentan también el caudal másico de aire y, claro está, la potencia de la turbina de potencia:

En todas las gráficas se repite la representación del rendimiento térmico del ciclo, cuya forma se explica por la de las curvas de variación de los rendimientos isentrópicos de las máquinas (dado que las temperaturas y presiones del ciclo varían de forma bastante lineal.
 
Regulación por VGIVs 
En la regulación de potencia en eje doble con geometría variable sucede algo semejante a lo que se acaba de ver en el caso anterior: en su tránsito al regular la carga, la turbina de potencia demanda cada vez un caudal de fluido diferente, que es suministrado por el generador de gas modificando su punto de trabajo a lo largo de su línea de actuación. Se  puede programar la simulación en Gasturb11 de manera que el cierre progresivo de los VIGVs vaya restringiendo el caudal de aire que atraviesa el turbocompresor y, al mismo tiempo, se conserve constante la temperatura de entrada a la turbina de alta presión. 

 

Al igual que lo que sucede con geometría fija, el eje del generador de gas es libre de hacer deslizar su régimen de giro pero, en este caso, el régimen varía mucho menos porque el caudal que se entrega a la turbina de potencia cambia más por causa de la variación del ángulo de los VGIVs que por la del régimen de giro. Se aprecia como la variación de la potencia es consecuencia de la del caudal de aire que pasa por el motor.
Como ya pasaba en la regulación por VIGVs en las turbinas de eje único, que se estudió aquí, cada punto de funcionamiento del eje libre tiene un mapa del compresor diferente (y un rendimiento diferente para cada posición de los IGVs), como se puede apreciar en la figura.

La turbina del generador de gas tiene una línea de actuación consecuencia de la constancia de la temperatura de entrada a la turbina y de la pequeña variación del régimen de giro:
En el mapa de la turbina de potencia ahora si se aprecia perfectamente la constancia del régimen de giro, ya que su temperatura de entrada es constante.