Politrópicas

Todos los que han cursado una asignatura de Termodinámica saben lo que es una politrópica: una línea que representa un proceso real (con fricción y/o pérdida/ganancia de calor) en el que se da una cierta variación de la presión. Las politrópicas representarán, por tanto, dos de los fenómenos más importantes que tienen lugar en el universo termodinámico: la compresión y la expansión.

No todo el mundo, en cambio, se encuentra cómodo a la hora de trabajar con politrópicas y, sobre todo, con un concepto que les está indisociablemente unido, que es el de rendimiento politrópico. Muchos estudiantes -y profesores- de asignaturas que están después de la de Termodinámica en los planes de estudios de las carreras de ingeniería (Turbomáquinas Térmicas, Motores Térmicos, etc.) creen que el rendimiento politrópico es solo un formalismo elegante, una suerte de ejercicio de estilo termodinámico sin aplicación práctica al mundo real de las máquinas térmicas. Tal vez tengan razón, aunque yo creo que no, que el rendimiento politrópico es un concepto importante, que tiene que ser más explicado y mejor entendido, y que su empleo es fundamental en muchos casos prácticos.

¿De donde viene el  palabro politrópico?

 El concepto de entropía fue desarrollado por el alemán Rudolph Clausius en 1865: Artículo original de Clausius. La palabra entropía procede del griego (ἐντροπία) y significa evolución o transformación. Lo que Clausius postula es que los procesos irreversibles en un sistema se caracterizan por la disipación a través de la frontera del sistema de una cierta cantidad de energía térmica δQ. La entropía -o, más bien, el cambio de entropía de un sistema que evoluciona irreversiblemente entre dos estados 1 y 2- viene a ser una medida de la irreversibilidad o, lo que es lo mismo, de la degradación de la energía en el proceso de 1 a 2. En otras palabras: en un proceso adiabático y sin fricción la entropía se conserva y se dice que el proceso es isentrópico. El prefijo “iso”  deriva del griego “isos”, que significa “igual”; de la misma manera, el prefijo "poli" viene también del griego "polys", numeroso o mucho. Está claro que  cuando el proceso no es adiabático y/o tiene fricción, existirán muchas entropías diferentes en el tránsito de 1 a 2 y el proceso podrá designarse à juste titre como politrópico. Si la politrópica fuese una adiabática con fricción, como usualmente sucede en las turbomáquinas, la entropía variará aumentando tanto más cuanto más irreversible sea el proceso.

 ¿Como se dibuja correctamente una politrópica?

Las politrópicas se caracterizan por su ecuación:

\[pv^n=cte      (1)\]

On a side note, la ecuación anterior muestra que las isentrópicas son un caso particular de politrópicas en las que n=γ.

Tomando logaritmos en la expresión (1) y diferenciando se tiene:

 

Diferenciando la ecuación de los gases perfectos:

De las ecuaciones (2) y (3):

De la ecuación de Gibbs:

Sustituyendo (4) en (5):

Si la transformación politrópica es adiabática entonces ds>0, por lo que de la ecuación (5) se deduce que, sobre una politrópica de compresión (dT>0) -en la que la derivada de la temperatura con respecto a la entropía es positiva- n>γ, mientras que en una politrópica de expansión sucede lo contrario y n<γ.

Derivando de nuevo la ecuación (5):

Por lo tanto, las curvas politrópicas en un diagrama T-s tienen su concavidad hacia arriba, tanto las de compresión como las de expansión.

Como dibujar mal una politrópica

Hay que ver la cantidad de veces que se dibujan mal las politrópicas. Aquí tenéis, por ejemplo, una figura tomada de uno de los grandes popes del mundo de las máquinas térmicas:

Se trata de una figura sacada del libro "Combined power plants" de J. H. Horlock (Pergamon, 1992). Supongo que Horlock encuentra normal  que la politrópica 1-2 se vaya separando progresivamente más de la isentrópica, tal vez porque piensa que eso refleja la tendencia a decrecer del rendimiento interno cuando aumenta la relación de compresión. Las politrópicas de expansión, en cambio, mi impresión es que siempre se dibujan bien.

Como hacerlo bien

En la práctica, la curvatura es muy pequeña y no se cometen grandes errores si se aproximan  en un diagrama T-s (o bien h-s) mediante... ¡líneas rectas!

Todo el bla bla bla de más arriba se resume en una simple frase: los procesos reales de compresión y expansión que tienen lugar en las máquinas térmicas se aproximan mediante rectas dibujadas en un diagrama h-s (o T-s), de pendiente positiva para una compresión y negativa para una expansión. 

Una de rendimientos

Y si las politrópicas representan tan bien la realidad... ¿para qué manejar también las isentrópicas? La respuesta es para que sirvan de medida de calidad, comparando el trabajo mecánico del proceso real con el del isentrópico. Suponiendo que el calor específico sea constante, el rendimiento isentrópico del proceso de compresión 1-2 de la figura anterior se puede definir como: 

 y el del proceso de expansión 3-4:

El rendimiento isentrópico tiene el inconveniente de que su valor depende del tamaño del salto de entalpía (a igualdad del resto de factores que influyen en la calidad del proceso), por lo que en ocasiones -por ejemplo, cuando se toma el salto de presiones como parámetro- es preferible utilizar el rendimiento politrópico, que es el que corresponde a un salto entálpico diferencial y que, por ello, es independiente del tamaño de ese salto. Para el caso de un proceso de compresión, el rendimiento politrópico vale:

 mientras que para un proceso de expansión: 

Como:

en un proceso isentrópico, se tendrá: 

luego:

 

 de donde como,

 se tiene finalmente, integrando:

 

Si, por ejemplo para el caso de la compresión, se toma 

es fácil llegar a la buena vieja  \[pv^n=cte\]definición de politrópica de la que se partió. Además, al particularizar a un proceso de compresión 1-2 o de expansión 3-4, se tendrá:

La relación entre las temperaturas y las presiones se parece mucho en las isentrópicas y en las politrópicas. Solo que, en estas últimas, en esa relación interviene el rendimiento politrópico. Si este se hace igual a 1, la politrópica se convierte, claro está, en una isentrópica... Así que ya no queda para cerrar el círculo nada más que establecer la

Relación entre los rendimientos politrópico e isentrópico

El rendimiento interno o isentrópico del compresor compara el salto de entalpías subiendo por la isentrópica con el salto subiendo por la politrópica. Así que:

expresión, que representada gráficamente -tomando el rendimiento politrópico como parámetro- resulta de sumo interés, porque permite ver que el rendimiento interno de un compresor disminuye con el tamaño del salto de presiones: 

Y eso tiene una consecuencia de orden práctico en los compresores reales -formados por varios escalonamientos de pequeño tamaño, cuyo rendimiento individual podría asimilarse al rendimiento politrópico-, que podría enunciarse del siguiente modo:

En un compresor multietapa, la máquina tiene peor rendimiento que los escalonamientos individuales que la componen.

En otras palabras, las pérdidas en los primeros escalonamientos influyen en que los siguientes tengan aún más pérdidas.

En las turbinas pasa, afortunadamente, exactamente lo contrario: 

En una turbina multietapa, la máquina tiene mejor rendimiento que los escalonamientos individuales que la componen. 

La ecuación que lo demuestra es semejante a la de los compresores, pero al revés:

Lo que se explica porque una parte de las pérdidas que se producen en los primeros escalonamientos se recupera poniendo más salto isentrópico a disposición de los siguientes. 
La representación gráfica de la expresión anterior permite ver como, efectivamente, el rendimiento interno de la turbina crece al crecer la relación de expansión.

Un dernier mot

que habría que decir, a la vista de todo lo anterior, es que cuando se hacen estudios paramétricos en los que se toma como parámetro el salto de presiones en una turbomáquina térmica, el rendimiento isentrópico no puede considerarse constante. En esos casos, es mejor fijar el rendimiento politrópico y dejar deslizar el isentrópico.