Cálculo de las curvas características de una turbina de fluido compresible

Se pretende determinar el campo de curvas características de una turbina ensayada en un banco de pruebas del tipo del representado en el siguiente esquema:

Se trata de calcular el comportamiento de una turbina (caudal másico, salto de presiones y rendimiento) cuando se recorre su línea de actuación al ir cerrando -partiendo de una posición en la que está casi completamente abierta- la válvula situada a la salida de la turbina.

PREMISAS DE PARTIDA

Se va a suponer para mayor sencillez y claridad, una turbina de un único escalonamiento, si bien el procedimiento es fácilmente extensible a turbinas multietapa.

El punto de diseño de la turbina es aquél  en el que la válvula está casi completamente abierta, anteriormente mencionado. En ese punto se conocen los triángulos de velocidades de la turbina y su rendimiento isentrópico. La presión y la temperatura de parada a la entrada de la turbina son conocidas y se mantendrán constantes a lo largo del ensayo. La presión después de la válvula es la atmosférica. La presión en el punto 2 depende del grado de apertura de la válvula y aumenta a medida que ésta se cierra. El régimen de giro se ajusta a un valor de consigna actuando sobre el freno.

PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO

Partiendo del punto de diseño, el caudal másico disminuirá al cerrar la válvula y viceversa. La disminución del caudal es equivalente a una disminución de la velocidad axial del flujo. Se puede suponer que los ángulos de salida de la velocidad absoluta del estator y de la velocidad relativa del rotor no se modifican, ya que la correlación para la desviación δ solo depende de parámetros geométricos de la cascada como la curvatura de los perfiles θ y la solidez σ (m y n son parámetros):


En una aproximación más rigurosa se haría depender la desviación del número de Mach pero el error que se comete no es muy grande. En esas circunstancias, una disminución dada de la velocidad axial deja determinado el nuevo tríángulo de velocidades, como ilustran los siguientes esquemas, particularizados para dos casos en los que el escalonamiento tiene en diseño dos grados de reacción diferentes, uno cercano a 0,5 (arriba) y otro igual a 0 (abajo).

Se puede apreciar como el grado de reacción se mantiene sensiblemente constante, en el caso del grado de reacción 0,5, mientras que aumenta al disminuir la velocidad axial, en el caso del grado de reacción 0. En todo caso, la incidencia del flujo relativo en el rotor cambia al pasar del caso en diseño al caso fuera de diseño, lo que incidirá de manera negativa en las pérdidas del escalonamiento.

En lo sucesivo, el análisis se centrará en el caso particular del escalonamiento de grado de reacción cercano a 0,5, si bien los razonamientos efectuados se pueden aplicar sin problemas a otros grados de reacción.

Las dos líneas de expansión correspondientes a la turbina en diseño y estrangulada se representan en la siguiente figura:

El cálculo de las presiones y temperaturas de cada punto se hace del siguiente modo:

La pérdida en el estator se calcula por medio de la correlación de Ainley y Mathieson y se resta de la entalpía del punto 1' para calcular la del 1's:

Con esos datos ya se pueden determinar la presión y la entropía del punto 1’ y, desde ahí, seguir por la politrópica hasta el punto 2':

La pérdida en el rotor se calcula también por medio de la correlación de Ainley y  Mathieson y se resta a la entalpía del punto 2':

Lo que permite calcular la presión a la salida del rotor en el punto 2'.

Una vez conocido el punto 2’, ya se conoce todo lo necesario para caracterizar el nuevo punto de funcionamiento de la turbina: caudal másico, relación de expansión y rendimiento. Reiterando el procedimiento para cada régimen de giro es posible, por tanto, dibujar el mapa completo de curvas características de la turbina.

En cada punto de cálculo hay que vigilar que no se produzca bloqueo, calculando el número de Mach de la velocidad de salida del estator c₁ y de la velocidad relativa de salida del rotor w₂. En el caso de escalonamientos con expansión en el rotor hay que tener en cuenta que la temperatura de salida del rotor será menor que a la salida del estator, lo que hará aumentar el número de Mach de la velocidad relativa.

RESULTADOS

La metodología explicada anteriormente se ha implementado en un programa de ordenador. En la fecha de redacción de esta entrada todavía dispongo de muy pocos resultados y ni siquiera estoy seguro de que estén bien. Así que pongo solo un par de gráficos ilustrativos y dejo para una futura edición su interpretación y eventual actualización.

El rendimiento total a total alcanza su máximo en las inmediaciones del punto de diseño de la turbina.

Edito para añadir un par de curvas características más, recién obtenidas (mayo de 2018). Siguen correspondiendo a una turbina monoescalonamiento pero con dos diseños distintos, uno de acción (como correspondería a una turbina real de una única etapa) y otro de grado de reacción 0,5, que sirve como precursor de futuros cálculos multietepa y que permitirá sacar alguna conclusión interesante.

Esta es la curva correspondiente a la turbina de acción:

Y esta es la de la turbina de reacción:

Lo que se ve en ambas curvas es que -a relación de expansión constante- el caudal másico que pasa por la turbina aumenta cuando el régimen de giro disminuye. Esto es lo esperado y se debe a que cuando baja el régimen aumenta el salto en el estator, ya que las pérdidas progresivamente mayores en el rotor hacen que haya menos expansión en el rotor, por lo que al estator se le va aplicando una fracción progresivamente creciente del salto total (que es invariable). Esto permite también entender algo que no es tan conocido: no es igual que la turbina bloquee en el estator o en el rotor. En el primer caso el caudal de bloqueo es independiente del régimen de giro, mientras que en el segundo caso no. La explicación de por qué bloquea en el rotor la turbina de reacción se debe a que en esta última, al haber también expansión en el rotor y no solo en el estator, la temperatura del flujo alcanzará su menor valor a la salida del rotor y ahí, por consiguiente, será más baja la velocidad del sonido. En un escalonamiento de grado de reacción 0,5 en el que la velocidad relativa de salida del rotor es igual a la absoluta de salida del estator, se alcanzará antes el bloqueo sónico cuando la velocidad de sonido sea más baja. En cambio, en una turbina de acción la velocidad de salida del estator es mayor que la relativa de salida del rotor y la temperatura y la consiguiente bajada de la velocidad del sonido a la altura del rotor no compensa lo suficiente ese efecto.

Ángulo de calado de un álabe de turbomáquina

En el diseño de escalonamientos de turbinas o turbocompresores es posible que sea necesario calcular el ángulo de calado del perfil. Por ejemplo, en el caso de una turbina, para determinar la solidez óptima usando el criterio de Zweifel hace falta conocer la cuerda axial b, que depende del ángulo de calado, como ilustra la siguiente figura, que corresponde a un escalonamiento de acción de una turbina.



Si la línea media de los perfiles es un arco de círculo, entonces el ángulo de calado es igual al ángulo medio de los ángulos que forman con la vertical las tangentes a la línea media del perfil en los bordes de ataque y de salida. Para demostrarlo se usa la construcción geométrica de la siguiente figura:



Las tangentes a un círculo determinado en dos puntos cualesquiera son perpendiculares a los radios de los ángulos α1 y α2 y se cortan entre sí en un punto por el que pasa la prolongación del radio del ángulo de calado de la cuerda γ.

Mi colega y -a pesar de ello- amigo Rubén me dijo tras hablar con él de este tema que el veía más sencilla una construcción en la que los dos radios extremos son simétricos con respecto al eje vertical y, por tanto, la cuerda es horizontal. En esas circunstancias la simetría ayuda a ver mejor la conclusión que se quiere demostrar